解说黎曼猜度的新几何，把数学之好意思展现得长篇大论，配置数学之梦

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黎曼猜度可能是有史以来最大的未解数学问题，但它仅仅一个更大故事的一小部分，这个故事等于寻找撑握L函数表面的新几何的探索。在黎曼猜度的别传宇宙里，咱们将解释L函数是什么，申报这个新几何的渴望，有些东说念主称之为一元域上的几何（geometry over the field with one element），或F1。我会解释它与黎曼猜度的讨论，以及其他伟大的问题，比如BSD猜度和朗兰兹蓄意（langlands program）。这是一段漫长的旅程，开端是L函数的表面，其中最简略的例子等于黎曼ζ函数。渴望是找到这个未知的、遮掩的、难以捉摸的F1几何。咱们的但愿，等于这个几何能为黎曼猜度的解说开启一条旅途。

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当先，我想向你们展示马宁（Manin）的一篇著述，行动F1的初学，然后简要纪念一下黎曼猜度，终末说一些对于如何寻找黎曼猜度解说的事情。F1初学行动对F1的初度战斗，我向你们展示尤里·马宁的一篇著述。马宁是一个别传东说念主物，他是宇宙上为数未几的领有全面数学常识的数学家之一。在这篇著述中，我只想指出一些咱们将来会遭受的关节宗旨。你们不错我方阅读这篇著述，它是公开可见的。

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著述的标题是“把数字看作函数（NUMBERS AS FUNCTIONS）”，其念念想是为了管制数论中最难懂的问题，咱们可能需要再行联想数学的中枢实质。高出是，咱们可能需要再行念念考咱们对“数字”这个词的明白。马宁盘考了一种特定的作念法，这是按照亚历山德鲁·布伊乌姆（Alexandru Buium）的表面发展出来的。在撮要中，你不错看到这个短语，“一元域上的几何”。

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他还提到一个相配未必的宗旨，即素数和物理之间可能存在深层的讨论。整篇著述齐是在讲述一个故事，即许多不同的宗旨之间存在出东说念主意料的讨论。让咱们整个浏览这篇著述。

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当先，这可能是最着名的数学公式之一，e 的 πi 次幂等于负一。他还提到了黎曼ζ函数的极度值，即 π^2/6，

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你可能在与巴塞尔问题的关系中看到过这个公式。著述开头的盘考主要和蔼一类极度的数字，它们在量子场论中出现的原因令东说念主模糊。这些数字被称为周期（periods）。

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在第三页，咱们遭受了一个超等紧迫的宗旨，即单元根（roots of unity）。

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然后在第四页的开头，他提到了咱们的但愿，即接近黎曼猜度。

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一些敬爱敬爱的周期示例包括代数数字，也等于多项式方程的零点，数字π亦然一个周期，然后还有这些奇怪的数字，

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这不错通过将伽马函数期骗于有理数来取得。是以咱们不错把它们叫作念分数伽马值（fractional gamma values）。这里的悉数内容齐相配敬爱敬爱，我想提到的终末几个见解是费曼积分或费曼旅途积分（Feynman path integrals），它们与量子场论中的振幅关联。然后在第14页，有些见解被称为格罗滕迪克环和维特环（Grothendieck rings and Witt rings）。

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它们是具有所谓"lambda-运算”的代数结构的例子。

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在第16页，咱们看到了一个被称为F_q的东西，这是一个有限域，咱们会回及其来再谈这个，还有这个记号F_1，它是这种奥秘几何的中枢。

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终末在第18页，他使用了“神圣莫测的深谷”这个短语，我相配心爱这个词，因为它传达出在这个念念想空间中你遭受的深度的嗅觉。

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黎曼猜度纪念咱们快速纪念一下黎曼猜度。质数包括2，3，5，7，11，13，17，19等等。若是你写下每个正整数的因数，你会看到质数，它们是唯有两个因数的数。让咱们望望一些较大的质数：101，103，107，109，113，127，131，137，139和149。从一个质数到下一个质数的跳动，它们似乎吵嘴常当场的。有时两个质数是告成相邻的。像101和103这么的孪生素数；然则有手艺，它们之间会有弘远的舛错，像113和127。这里有莫得底层的结构？咱们能否展望下一个质数的出现的？这等于黎曼ζ函数出场的手艺。

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质数与黎曼ζ函数的零点衔接。ζ函数是从复数到复数的函数。这意味着，对于任何复数的输入，将取得一个复数行动输出。举例，输入2，输出π平常除以6。输入负1，输出负1除以12。输入负2，输出0。是以数字-2，是黎曼ζ函数的一个零点。

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若是把悉数这些零点行动复平面中的点，有些很容易计较，如-2，-4，-6等等，也等于负的偶数。

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这些被称为粗鄙零点（trivial zeros）。其他的零点，被称为非粗鄙零点（non-trivial zeros），齐包含在所谓的临界带（critical strip）中。

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敬爱敬爱是，ζ函数零点的实部，在0和1之间。黎曼猜度宣称，悉数非粗鄙的零点，实部齐等于1/2。换句话说，它们齐在所谓的临界线上。数学家们依然计较过，这些非粗鄙零点的前12万亿个，它们的实部齐是1/2。虚部呢？你不错计较它们，对于前几个零点，虚部大要是，14.1掌握，21掌握，25掌握，这个数字序列被称为黎曼谱。

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咱们不错使用Sage计较更多的这些值。要初步明白这些零点为什么如斯敬爱敬爱，让咱们望望函数

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这是一个余弦波，以14.1行动角频率，以对数x为变量。这里的“对数”是天然对数ln。让咱们绘图函数f从x等于1到15的图形。

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这看起来像是某种波，波长随x的增大而增大，但望望峰值！固然不竣工，但接近1、2、3、5和稍大于7的场地有峰值。在11和12之间有终末一个峰值。当今咱们再给函数f的界说加上一个项：

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这个函数在大约是1、2、3、5、7，然后稍高于12的场地有峰值，

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当今咱们延续添加越来越多的项，

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使用来自黎曼谱的数字构建这些余弦波。使用前十个项，就会有相配明晰的峰值，分散在1、2、3、5、7、11和13的位置。

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咱们不错使用任意数目的项，让咱们使用一百个项，并将这个图形扩张到x等于二十的场地，

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当今，也许你不错猜出这些小峰值是什么。在2之后，峰值出当今4、8和16。在3之后，峰值出当今9，然后会有更多的峰值出当今27、81等等。这些是2的幂和3的幂。总的来说，跟着咱们添加越来越多的项，并扩大x值的边界，悉数的质数的幂齐会出现尖峰。这些图表是一个初步的小领导，固然咱们频繁和蔼的是质数，但质数的幂对咱们也相配紧迫。只需记取，这些图表，悉数这些尖峰，并不是来自咱们了解的质数，它们仅来自黎曼谱。是以赫然，这里有一种贯穿，贯穿了黎曼谱和质数。这险些是随性的！质数与余弦波无关。若是你久了研究这种讨论的细节，你想了解有若干质数在给定数值之前，比如说在二十或一百万之前，那么关节等于了解一个零值可能离临界线有多远。最竣工和最美丽的情况应该是，悉数的零值推行上齐统统在这条线上。这个猜度等于黎曼猜度。黎曼猜度的解说那么，咱们如何解说黎曼猜度呢？这是一个价值百万好意思元的问题。对于黎曼ζ函数有好多书，对于黎曼猜度也有好多书。在其中的一些书里，你会发现东说念主们尝试过的许多事情，以及可能在昔时解说中起作用的许多宗旨的列表。天然，莫得东说念主信得过知说念最终会有什么恶果。然则，我觉得，若是你想阅读这些宗旨，最佳的场地，也许是最佳的场地，是布莱恩·康瑞（Brian Conrey）的一篇近期著述（RIEMANN’S HYPOTHESIS）。

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康瑞是宇宙上黎曼猜度的顶级大师之一。他有好多很敬爱敬爱的研究论文，但最着名的等于他解说了在临界带中至少40%的零值推行上在临界线上的那篇。

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你不错我方阅读这篇论文（RIEMANN’S HYPOTHESIS），我只想强调我觉得最敬爱敬爱的一些宗旨。一运转就盘考了这个问题的历史配景，以及质数和零值之间的讨论。有一小部分对于“咱们为什么觉得黎曼猜度是对的？”的内容，这也相配敬爱敬爱。然后引入这个谱解释的宗旨，

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敬爱敬爱是零值可能是某个算子的特征值。对于解说黎曼猜度的一些初步宗旨，听起来很敬爱敬爱。然后我想强调这个第16节，

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魏尔的显式公式和正性轨范。17是李氏准则，

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