讲解黎曼料想的新几何，把数学之好意思展现得长篇大论，设立数学之梦

图片

黎曼料想可能是有史以来最大的未解数学问题，但它仅仅一个更大故事的一小部分，这个故事便是寻找支握L函数表面的新几何的探索。在黎曼料想的听说寰球里，咱们将解释L函数是什么，表现这个新几何的联想，有些东谈主称之为一元域上的几何（geometry over the field with one element），或F1。我会解释它与黎曼料想的谋划，以及其他伟大的问题，比如BSD料想和朗兰兹商酌（langlands program）。这是一段漫长的旅程，起初是L函数的表面，其中最粗浅的例子便是黎曼ζ函数。联想是找到这个未知的、荫藏的、难以捉摸的F1几何。咱们的但愿，便是这个几何能为黎曼料想的讲解开启一条旅途。

图片

率先，我想向你们展示马宁（Manin）的一篇著述，算作F1的初学，然后简要总结一下黎曼料想，临了说一些对于如何寻找黎曼料想讲解的事情。F1初学算作对F1的初度讲和，我向你们展示尤里·马宁的一篇著述。马宁是一个听说东谈主物，他是寰球上为数未几的领有全面数学学问的数学家之一。在这篇著述中，我只想指出一些咱们将来会际遇的关节主义。你们不错我方阅读这篇著述，它是公开可见的。

图片

著述的标题是“把数字看作函数（NUMBERS AS FUNCTIONS）”，其想想是为了处治数论中最高深的问题，咱们可能需要从头联想数学的中枢本色。额外是，咱们可能需要从头想考咱们对“数字”这个词的合资。马宁沟通了一种特定的作念法，这是按照亚历山德鲁·布伊乌姆（Alexandru Buium）的表面发展出来的。在节录中，你不错看到这个短语，“一元域上的几何”。

图片

他还提到一个相配无意的主义，即素数和物理之间可能存在深层的谋划。整篇著述齐是在陈说一个故事，即许多不同的主义之间存在出东谈主预料的谋划。让咱们所有这个词浏览这篇著述。

图片

率先，这可能是最盛名的数学公式之一，e 的 πi 次幂等于负一。他还提到了黎曼ζ函数的特殊值，即 π^2/6，

图片

你可能在与巴塞尔问题的关系中看到过这个公式。著述开头的沟通主要真贵一类特殊的数字，它们在量子场论中出现的原因令东谈主隐约。这些数字被称为周期（periods）。

图片

在第三页，咱们际遇了一个超等蹙迫的主义，即单元根（roots of unity）。

图片

然后在第四页的开头，他提到了咱们的但愿，即接近黎曼料想。

图片

一些意旨的周期示例包括代数数字，也便是多项式方程的零点，数字π亦然一个周期，然后还有这些奇怪的数字，

图片

这不错通过将伽马函数讹诈于有理数来获得。是以咱们不错把它们叫作念分数伽马值（fractional gamma values）。这里的所有这个词内容齐相配意旨，我想提到的临了几个倡导是费曼积分或费曼旅途积分（Feynman path integrals），它们与量子场论中的振幅干系。然后在第14页，有些倡导被称为格罗滕迪克环和维特环（Grothendieck rings and Witt rings）。

图片

它们是具有所谓"lambda-运算”的代数结构的例子。

图片

在第16页，咱们看到了一个被称为F_q的东西，这是一个有限域，咱们会回极度来再谈这个，还有这个标志F_1，它是这种奥密几何的中枢。

图片

临了在第18页，他使用了“奥密莫测的幽谷”这个短语，我相配可爱这个词，因为它传达出在这个想想空间中你际遇的深度的嗅觉。

图片

黎曼料想总结咱们快速总结一下黎曼料想。质数包括2，3，5，7，11，13，17，19等等。要是你写下每个正整数的因数，你会看到质数，它们是唯有两个因数的数。让咱们望望一些较大的质数：101，103，107，109，113，127，131，137，139和149。从一个质数到下一个质数的杰出，它们似乎是颠倒立时的。有时两个质数是径直相邻的。像101和103这么的孪生素数；然而有技艺，它们之间会有遍及的流毒，像113和127。这里有莫得底层的结构？咱们能否估计下一个质数的出现的？这便是黎曼ζ函数出场的技艺。

图片

质数与黎曼ζ函数的零点贯串。ζ函数是从复数到复数的函数。这意味着，对于任何复数的输入，将获得一个复数算作输出。举例，输入2，输出π通俗除以6。输入负1，输出负1除以12。输入负2，输出0。是以数字-2，是黎曼ζ函数的一个零点。

图片

要是把所有这个词这些零点算作复平面中的点，有些很容易商酌，如-2，-4，-6等等，也便是负的偶数。

图片

这些被称为庸俗零点（trivial zeros）。其他的零点，被称为非庸俗零点（non-trivial zeros），齐包含在所谓的临界带（critical strip）中。

图片

真谛是，ζ函数零点的实部，在0和1之间。黎曼料想宣称，所有这个词非庸俗的零点，实部齐等于1/2。换句话说，它们齐在所谓的临界线上。数学家们仍是商酌过，这些非庸俗零点的前12万亿个，它们的实部齐是1/2。虚部呢？你不错商酌它们，对于前几个零点，虚部大要是，14.1摆布，21摆布，25摆布，这个数字序列被称为黎曼谱。

图片

咱们不错使用Sage商酌更多的这些值。要初步合资这些零点为什么如斯意旨，让咱们望望函数

图片

这是一个余弦波，以14.1算作角频率，以对数x为变量。这里的“对数”是天然对数ln。让咱们绘图函数f从x等于1到15的图形。

图片

这看起来像是某种波，波长随x的增大而增大，但望望峰值！固然不竣工，但接近1、2、3、5和稍大于7的场地有峰值。在11和12之间有临了一个峰值。咫尺咱们再给函数f的界说加上一个项：

图片

这个函数在有时是1、2、3、5、7，然后稍高于12的场地有峰值，

图片

咫尺咱们持续添加越来越多的项，

图片

使用来自黎曼谱的数字构建这些余弦波。使用前十个项，就会有相配明晰的峰值，辞别在1、2、3、5、7、11和13的位置。

图片

咱们不错使用随心数目的项，让咱们使用一百个项，并将这个图形推广到x等于二十的场地，

图片

咫尺，也许你不错猜出这些小峰值是什么。在2之后，峰值出咫尺4、8和16。在3之后，峰值出咫尺9，然后会有更多的峰值出咫尺27、81等等。这些是2的幂和3的幂。总的来说，跟着咱们添加越来越多的项，并扩大x值的领域，所有这个词的质数的幂齐会出现尖峰。这些图表是一个初步的小指示，固然咱们频频真贵的是质数，但质数的幂对咱们也相配蹙迫。只需记着，这些图表，所有这个词这些尖峰，并不是来自咱们了解的质数，它们仅来自黎曼谱。是以赫然，这里有一种清楚，清楚了黎曼谱和质数。这几乎是荒诞的！质数与余弦波无关。要是你真切研究这种谋划的细节，你想了解有几许质数在给定数值之前，比如说在二十或一百万之前，那么关节便是了解一个零值可能离临界线有多远。最竣工和最精良的情况应该是，所有这个词的零值现实上无缺齐在这条线上。这个料想便是黎曼料想。黎曼料想的讲解那么，咱们如何讲解黎曼料想呢？这是一个价值百万好意思元的问题。对于黎曼ζ函数有好多书，对于黎曼料想也有好多书。在其中的一些书里，你会发现东谈主们尝试过的许多事情，以及可能在将来讲解中起作用的许多主义的列表。天然，莫得东谈主着实知谈最终会有什么成果。然而，我觉得，要是你想阅读这些主义，最佳的场地，也许是最佳的场地，是布莱恩·康瑞（Brian Conrey）的一篇近期著述（RIEMANN’S HYPOTHESIS）。

图片

康瑞是寰球上黎曼料想的顶级巨匠之一。他有好多很意旨的研究论文，但最盛名的便是他讲解了在临界带中至少40%的零值现实上在临界线上的那篇。

图片

你不错我方阅读这篇论文（RIEMANN’S HYPOTHESIS），我只想强调我觉得最意旨的一些主义。一开动就沟通了这个问题的历史配景，以及质数和零值之间的谋划。有一小部分对于“咱们为什么觉得黎曼料想是对的？”的内容，这也相配意旨。然后引入这个谱解释的主义，

图片

真谛是零值可能是某个算子的特征值。对于讲解黎曼料想的一些初步主义，听起来很意旨。然后我想强调这个第16节，

图片

魏尔的显式公式和正性尺度。17是李氏准则，

图片

本站仅提供存储业绩，所有这个词内容均由用户发布，如发现存害或侵权内容，请点击举报。